群论简介
本文最后更新于 2025年1月2日 晚上
知识前置
费马小定理
若 $p$ 为素数，$\gcd(a,p)=1$，则 $a^{p-1}\equiv1$。
模运算对积的性质
对于 $\forall a,b,m\in\mathbb N$，令 $a’=a\operatorname{mod}m$，$b’=b\operatorname{mod} m$，有 $a\times b\equiv a’\times b’\ (\operatorname{mod} m)$。
函数的复合
指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。具体来说，如果有两个函数 $f:X\rightarrow Y$ 和 $g:Y\rightarrow Z$，它们的复合函数 $g\circ f:X\rightarrow Z$ 定义为 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$。
群的定义
群是由一种集合及一个二元运算所组成的。
设 $G$ 是一个非空集合，“$\cdot$”是它的一个二元运算。若 $G$ 对 $\cdot$ 构成一个群，则 $G$ 与 $\cdot$ 满足以下性质：
- 封闭性：对于 $\forall a,b\in G$，有 $a\cdot b\in G$。
- 满足结合律：对于 $\forall a,b,c\in G$，有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$。
- 存在单位元：$\exists e\in G$，使得 $\forall a\in G$，$a\cdot e=e\cdot a=a$。则称 $e$ 为群 $(G,\cdot)$ 的单位元。
- 存在逆元：对于 $\forall a\in G$，$\exists b\in G$ 使得 $a\cdot b=b\cdot a=e$，则称 $a$ 与 $b$ 互为逆元。$b$ 记作 $a^{-1}$。
通常来说，$G$ 对 $\cdot$ 构成的群，记作 $(G,\cdot)$。“$\cdot$”称为“乘法”，“$a\cdot b$”称为“$a$ 与 $b$ 的积”，简写为“$ab$”。
若 $G$ 的元素个数有限，则构成的群为有限群，反之则构成无限群。
注意：此处的“乘法 $\cdot$”不是一般意义上四则运算的乘法。它可以是任何对应的运算，例如集合的交与并、函数的卷积与符合等等。另外，该运算不一定满足交换律，即 $a\cdot b$ 的运算结果可能不等于 $b\cdot a$ 的运算结果。
举例
整数集与加法
整数集对加法构成群 $(\mathbb Z,+)$：
- 对于 $\forall a,b\in\mathbb Z$，$a+b\in\mathbb Z$。
- 对于 $\forall a,b,c\in\mathbb Z$，$(a+b)+c=a+(b+c)$。
- $\exists e=0\in\mathbb Z$，使得 $\forall a\in\mathbb Z$，$a+e=e+a=a$，群的单位元为 $0$。
- 对于 $\forall a\in\mathbb Z$，$\exists b=-a\in\mathbb Z$ 使得 $a+b=b+a=e$，即 $a$ 在群中的逆元为 $-a$。
正整数集与模意义下的乘法
定义模意义下的乘法 $a\cdot b=(a\times b)\operatorname{mod}p$，其中 $p$ 是一个被定义的素数。
非负整数集对模意义下的乘法构成群 $(\mathbb N,\cdot)$：
- 对于 $\forall a,b\in\mathbb N$，$a\cdot b\in\mathbb N$。
- 对于 $\forall a,b,c\in\mathbb N$，由模运算对积的性质可得 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$。
- $\exists e=1\in\mathbb Z$，使得 $\forall a\in\mathbb N$，$a\cdot e=e\cdot a=a$，群的单位元为 $1$。
- 对于 $\forall a\in\mathbb N$，由费马小定理可得 $\exists b=a^{p-2}\operatorname{mod}p\in\mathbb N$ 使得 $a\cdot b=b\cdot a=e$，即 $a$ 在群中的逆元为 $a^{p-2}$。
群的运算
对于 $g\in G,\ H\subseteq G$，定义 $g\cdot H={g\cdot h|h\in H}$，简写为 $gH$；$H\cdot g={h\cdot g|h\in H}$。
对于 $A,B\subseteq G$，定义 $A\cdot B={a\cdot b|a\in A,b\in B}$，简写为 $AB$。
对于 $H\subseteq G$，定义 $H^{-1}={h^{-1}|h\in H}$。
替换定理
若 $(G,\cdot)$ 是群，对于 $\forall g\in G$，$gG=Gg=G$。
解释：从 $G$ 中取出一个元素 $g$，再将其与原来的每个元素做乘法，得到的新集合与原集合相同。
感性理解：根据群的封闭性，再原集合 $G$ 中，任意两个数相乘的结果都在 $G$ 中。此时用 $g$ 再乘，得到的结果也只能在 $G$ 中。根据集合互异性，结果数量与原集合数量相等，所以两集合相同。
子群
若 $(G,\cdot)$ 是群，$H\neq\emptyset$，$H\subseteq G$ 且 $(H,\cdot)$ 也是群，则称 $(H,\cdot)$ 为 $(G,\cdot)$ 的子群。
阿贝尔群
若群 $(G,\cdot)$ 满足交换律，即对于 $\forall a,b\in G$，满足 $a\cdot b=b\cdot a$，则称其为阿贝尔群，又称交换群。
函数群
函数群是群概念在函数空间中的应用。例如，考虑所有从实数到实数的连续函数的集合，如果定义适当的运算（如函数的乘积或和），这个集合可以形成一个群。
乘法群
函数的运算是逐点乘积。
如果 $f$ 和 $g$ 是两个函数，它们的运算结果是 $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$。
复合群
在函数群的背景下，复合群指的是函数之间的运算是通过函数的符合来定义的。
如果 $f$ 和 $g$ 是两个函数，它们的运算结果是 $(f\circ g)(x)=f(g(x))$。
- 单位元：一个恒等函数 $e$，有 $e\circ f=f\circ e=f$。
- 逆元：逆函数 $f^{-1}$，满足 $f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=e$。
一个典型的例子：
所有连续函数的集合对复合运算构成函数群。在这种情况下，如果两个函数复合在一起，其结果仍然是一个函数，这就满足了封闭性。结合律则意味着函数复合是可结合的，即 $(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)$。而单位元存在性则意味着存在一个恒等函数，它与任何函数的复合都不会改变函数的结果。
通过这种方式，群论为研究函数的性质和变换提供了一种强大的代数框架。
群的应用
数学
群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。
阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。
李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。
物理
群论在物理学中也有着重要的应用。对称性是物理学中一个重要的概念，而群论提供了一种严密的数学工具来研究对称性。
- 群论在粒子物理中用于分类基本粒子和它们的相互作用，通过对称性原理揭示物理定律的内在结构。
- 群论在量子力学中用于描述粒子的对称性和守恒定律，帮助理解和预测粒子的行为和相互作用。
- 群论在凝聚态物理学中，帮助描述固体材料的对称性质，指导材料的电子结构和性质研究。
化学
群论被广泛应用于研究晶体结构，因为它提供了一种系统化的方法来分析和分类晶体的结构和性质。
晶体的许多物理性质，如电导率、热导率和光学性质，与其对称性密切相关。群论可以帮助我们理解这些性质，并预测在改变晶体对称性时它们的变化。
晶体中的缺陷，如位错和杂质，也会影响其对称性。群论可以用来分析这些缺陷对晶体结构和性质的影响。
计算机科学
群论在计算机科学上也有广泛的应用，可以帮助设计高效的算法和数据结构。
群论提供了一种优化算法的思路。群论中的群操作具有封闭性、结合律、单位元和逆元等性质，这些性质可以被用于算法设计中。
总结
群论作为一种抽象代数学的分支，具有广泛的应用前景。它不仅能帮我们更好地理解和研究实际问题，也为各个领域的发展和创新提供了数学支持和指导。
参考资料
群论 - OI-Wiki
群论 - 百度百科
数学中的群论应用 - 百度文库
揭秘数学中的群论：函数的集合与代数的新篇章 - 百家号-闻讯百通